Survol du chapitre 4

Les thèmes centraux du chapitre 4 sont l’extraction de la racine carrée (et cubique) et le volume de la sphère.

Le titre du chapitre est néanmoins emprunté à la procédure de la petite largeur, donnée en préambule et illustrée par les problèmes (4.1) à (4.11). Il s’agit là de déterminer la longueur d’un champ rectangulaire d’aire 240 bu, et dont la largeur vaut , la valeur de k augmentant au fil des 11 problèmes.
Ceci peut surprendre, dans la mesure où cette procédure n’est pas explicitement utilisée dans le reste du chapitre. La division, au cœur de cette première procédure, se retrouve cependant dans la formulation des procédures d’extraction de racine, mais dans un sens qui, semble-t-il, renvoie à l’opération de retrancher, d’éliminer …

Les cinq problèmes suivants, (4.12) à (4.16), sont de purs calculs de racine carrée : on dispose d’un nombre-produit correspondant à l’aire d’un carré, et on détermine le côté du carré. La procédure d’extraction de la racine carrée consiste, après estimation de l’ordre de grandeur de la racine, en calculer les chiffres successifs de son écriture décimale positionnelle. Elle est relativement longue et technique, décrivant pas à pas les calculs à effectuer sur la table à calculer. De nombreux commentaires de Liu Hui et Li Chunfeng jalonnent d’ailleurs la procédure pour tenter de l’éclairer. Liu Hui donne en outre les clefs d’une justification de cet algorithme, par un argument géométrique.

Les problèmes (4.17) et (4.18) portent sur la racine circulaire : déterminer la circonférence d’un cercle dont l’aire nous est donnée. Il ne s’agit donc ici que de combiner la procédure d’extraction de la racine avec la division par , approximé par 3 dans le Classique. Les commentateurs noteront donc que les estimations dont ils disposent (voir cet article) leur permettent des calculs plus précis.

Vient ensuite la procédure d’extraction de la racine cubique, illustrée par les problèmes (4.19) à (4.22). Le principe est essentiellement le même que pour la racine carrée, reposant sur l’écriture décimale de la racine, mais les sauts de classe la rendent encore plus technique. A nouveau, Liu Hui propose une justification géométrique de la procédure, par un découpage du cube analogue à celui qu’il avait proposé pour le carré.

Le chapitre 4 se clôt sur la procédure de la racine sphérique. Les problèmes (4.23) et (4.24) déterminent ainsi le diamètre d’une sphère dont on connait le volume. Il est à noter que le problème (4.24) propose ainsi une sphère de volume 1 644 866 437 500 chi, qui est le plus grand nombre rencontré dans le Classique (voir cet article).
Outre les commentaires propres à l’approximation de , comme pour la procédure de la racine circulaire, cette procédure est accompagnée de deux longs commentaires importants de Liu Hui et Li Chunfeng. Le premier, présenté dans cet article, initie le calcul exact du volume de la sphère, après avoir invalidé celle du Classique. Pour cela, Liu Hui introduit le dais carré, un solide dont le volume est 4/ fois celui de la sphère – son argument est la première occurrence de ce que nous appelons de nos jours le principe de Cavalieri.
Liu Hui ne parvient néanmoins pas à calculer le volume du dais carré : ce n’est que deux siècles plus tard que Zu Gengzhi et Zu Gengzhi mènent ce calcul à son terme, par un argument que résume Li Chunfeng dans son commentaire et que nous reprenons dans cet article.